2018-10-13 点击:

作者:侯晓丽 李永凤
  【摘要】求解微分方程是常微分方程课程中非常重要的内容,求解过程中难免会出现增失根问题。本文对增失根的原因进行了深入的讨论,并给出了一些有益的建议。
  【关键词】常微分方程 增根 失根
  【基金项目】本文由“郑州轻工业学院第三批青年教师教学改革与研究项目”、“郑州轻工业学院第十一批教改项目”资助。
  【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)07-0107-02
  在常微分方程中,相当一部分内容就是求微分方程的解,例如:一阶显式微分方程的求解、一阶隐式微分方程的求解、高阶线性或非线性微分方程的求解、一阶线性微分方程组的求解以及求微分方程的求解等,求解过程中不可避免的会做变量替换,或对方程两边积分或求导等运算,都会产生增根或失去方程的某个根,尤其是非线性微分方程,没有固定的解法且求解过程相对复杂,更易产生增失根问题。本文对几类常见的微分方程的增失根问题进行分析。
  一、对方程做恒等变形时易失根
  例:求解微分方程x =y-1
  解:两边分离变量得: = ,
  两边积分得方程的解为y-1=Cex,其中C为非零常数。
  显然方程有一失根y=1。
  例:求解方程ydx+(y-x)dy=0
  解:方程有积分因子μ= ,以积分因子乘方程两边得 + =0
  因而通解为 +lny=c。显然y=0也是方程的根。
  这种情况还有很多,例如伯努利方程,做变换z=y-n化为一阶线性微分方程时易失根y=0。
  解决办法:变换前先检查方程有没有常值解满足方程,找出这些解后再对方程做变换或变量分离,避免失根。
  二、过度求导会产生增根
  对一阶隐式微分方程,当方程中不显含x时,一般的做法就是令y'=p,把方程化为关于y和p的方程,然后两边再关于x求导,化为关于p和x的一阶微分方程,求出p后代入y的表达式,即得方程的解。例
  y'2-2y=0 令y'=p,则得y= p2,两边关于x求导,得2p =2y'=2p故p=0或 =1。由p=0得y=c1,由 =1得p=x+c2
  从而原方程的解为y= (x+c2)2
  现在把方程稍微改动一下,变为
  y'2-2y'=0 同樣令y'=p,则得p2-2p=0,
  故p=0或p=2。由p=0得y=c1,由p=2得y=2x+c2
  故原方程的解为y=c1或y=2x+c2
  授课过程中发现有相当多的同学是这样做的:
  y'2-2y'=0同样令y'=p,则得p2-2p=0,
  因为方程是隐式方程,不显含x,两边对x直接求导得
  2p -2 =0,解得p=1和 =0,于是方程的解为y=x+c1或y=2x+c2,显然过度求导后方程失去了根y=c1,却增加了根y=x+c1。
  解决方法:解方程过程中尽量避免对方程求导,确需求导的最后一定要对所求根进行检验。
  三、两边求积分时定义域发生改变会产生增失根
  微分方程最后都是通过积分得到方程的解。在对方程两边求积分过程中有时会导致其定义域发生改变,从而可能产生增根或失根,尤其是对一阶线性微分方程用公式求解更易导致定义域发生改变。
  例:求解微分方程y'- y=x
  这是一个简单的一阶线性微分方程,由求解公式得
  y=e ( Q(x)e dx+c)
  =e ( xe dx+c)
  =x(x+c)=cx+x2
  由原方程知定义域要求自变量x不能等于0,但方程的解中没有这个限制,因此方程的解中包含了一个增根。故原方程的通解为y=cx+x2, x≠0。
  以上是求解微分方程过程中最常见的产生增根或失根的原因,当然还有其他原因,例如把常数换成对数常数,求积分过程中加绝对值符号、马虎等都会导致增失根。因此,求解微分方程时要注意这些增失根现象,求解方程后要加强对根的检验,只有这样才能准确圆满的解得方程的所有解。
  参考文献:
  [1]王高雄等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社, 2013.
  [2]曹之江.常微分方程简明教程[M].北京:科学出版社,2017.
  [3]朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答[M].北京:高等教育出版社,2007.
  [4]V.I.阿诺尔德(俄).常微分方程[M].北京:科学出版社,2017.
  [5]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2009.