2019-01-28 点击:

作者:陈秀
  【摘要】本文从高中数学课堂对正弦定理的学习中引导学生通过构造直角三角形,应用一般化为特殊的思想用三种方法证明了正弦定理,帮助学生理解和更好的应用定理。
  【关键词】正弦定理的证明 向量法 外接圆
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)46-0111-01
  正弦定理是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修5[1]第一章第一节的主要内容,是反应三角形中边角关系的重要定理,是解决可以转化为三角形计算模型的一些测量、设计等实际问题的重要手段。在学生已经具备平面几何知识、解直角三角形、任意角的三角函数概念和平面向量等知识的基础上学习本节课内容,学生已经具有一定的观察、分析以及解决问题的能力但是对知识的迁移能力还尚不足,因此有必要引导学生发现并尝试证明这个定理,实现知识的有效融合,提高课堂教学的有效性[2]。
  正弦定理:在三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = .
  一、作高法
  学生初中已学解直角三角形,引导学生从最熟悉的直角三角形中发现正弦定理。
  ①在RtΔABC中, sinA= ,sinB= ,sinC=1= 。
  所以,C= ,B= ,C=
  从而,在RtΔABC中,有 = = .
  ②在锐角三角形中,引导学生将锐角转化为直角,即作高,
  同时注意寻找三角形中未被破坏的元素。
  在锐角ΔABC中,作边BC上的高是AD,有AD=csinB,AD=bsinC。
  由此,得 = ,
  同理可得 = ,
  故有 = = ,从而这个结论在锐角三角形中成立。
  ③当ΔABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义,有CD=asin∠CBD=asin∠ABC,CD=bsinA。
  由此,得 = ,同理可得 =
  故有 = = .
  综上,在ABC中, = = 成立。
  从而得到:在一个三角形中,各邊和它所对角的正弦的比值相等,即 = = .
  二、外接圆法
  在△ABC中,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于C′,设BC′=2R.
  根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可得∠BAC′=90°,∠C =∠C′,
  ∴sinC=sinB′= ,∴ =2R
  同理,可得 =2R, =2R.
  ∴ = = =2R.
  从而,对于任意的三角形,我们有 = = =2R
  三、向量法
  向量是解决数学问题的重要工具,可利用向量的数量积来证明。
  在△ABC中, 作边BC上的高是AD.
  ∵AD⊥BC,∴ · =0
  又 · = ·( - )= · - ·
  =| |·b·cos( -C)-| |·c·cos( -B)=0
  所以b·sinC-csinB=0
  从而 = ,同理可证 =
  故有 = = .
  以上给出了正弦定理的三种证明方法,虽然每种证明方法利用不同的数学知识,但是仔细观察会发现有一条纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间,这条纽带就是:构造直角三角形。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。这里蕴含了重要的数学思想:把一般的问题特殊化,通过对特殊情况的研究,从而推导出一般结论。另一个方面,任何问题都是建构在学生已学的知识之上的,引导学生学会用已学的知识解决新知识的问题。从教学实际上来看,我们可以从知识的最近生长点即三角函数与解直角三角形来引入解斜三角形,因此虽然作高法并不是最简单的证明,但它更符合学生的认知水平,而且正弦定理最终是为解三角形实际问题服务的,让学生从解决实际问题入手,能培养学生实际应用能力,正是基于从这个角度的思考,在实际上课的过程中,使用这种方法引入,可能更容易被学生接受。
  参考文献:
  [1]普通高中课程标准实验教科书数学必修5(人教A版) [2]普通高中数学课程标准(2017年版)