作者：陈燕子 | 字数：6537 | 阅读：

【摘要】在“正态分布”教学中，通过创设情境，从对实际中的误差分析问题入手，从具体到抽象，构建正态分布模型，从实际到理论再用以解决实际问题，增强学生对概率的应用意识，借助GGB软件演示正态曲线的形成并探究正态分布密度曲线的性质，整个过程可以很好地落实数学建模、数据分析、抽象概括、直观想象等数学核心素养.。

【关键词】问题驱动；思维发展；正态分布

“正态分布”选自普通高中课程标准试验教科书人教A版选修第二章最后一节，在前面学习离散型随机变量后，正态分布作为连续型随机变量，在这里正是对前面内容的一种补充和拓展。下面谈谈以“正态分布”的教学为例，如何在教学中通过设计大问题串、小问题链，以问题驱动来落实数学核心素养，渗透数学或然与必然的思想、建模思想、数形结合思想以及统计推断思想。

一、 结合教材史料，引入问题

在德国10马克的纸币上印着高斯的头像和正态密度曲线，这个概率分布曲线在我们生产生活中无处不在，比如我们一个年级1000多人的成绩分布，我们的智商指数、身高都服从正态分布。经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

问题1：我们前面学习了二项分布，它与正态分布有什么关系吗？

上一节“二项分布”中，我们学习了高尔顿板试验，小球在下落过程中要与众多小木板发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标是众多随机碰撞的结果，所以它服从正态分布，数学证明，二项分布的极限分布是正态分布。

二、追寻正态分布史迹，探究误差分布

陈希孺院士的《数理统计学简史》中说到，正态分布的密度形式首次发现是棣莫弗——拉普拉斯的中心极限定理中，棣莫弗在二项分布的计算中瞥见了正态曲线的模样，不过他并没有能展现这个曲线的美妙之处。棣莫弗的这个工作当时并没有引起人们足够的重视，原因在于棣莫弗不是个统计学家，从未从统计学的角度去考虑其工作的意义。而高斯在发明小行星定位的数学方法时，使用了最小二乘法进行了计算，准确地预测了谷神星的位置，然后高斯拓展了最小二乘法，把正态分布和最小二乘法联系在一起，使得正态分布在误差分析中起到非常重要的作用。

问题2：天文学是第一个被测量误差困扰的学科，如何处理数据中的观测误差是一个很棘手的问题.我们如何寻找随机误差分布的规律呢？

自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g。由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量或多或少会存在一定误差（实际质量-标准质量）。用x表示这种误差，则是一个连续型随机变量。检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差（单位：g）的观测值如下：

追问1：如何描述这100个样本误差数据的分布？必修第二册第九章9.2中我们已经学习对大量数据的统计整理常采用频率分布表、频率分布直方图来呈现数据规律，也会用频率分布折线图分析其趋势。因此，可用频率分布直方图描述误差数据的分布（如图1）。

追问2：你能根据这个频率分布直方图，对随机误差做个大致的描述吗？观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁。

追问3：如何构建适当的概率模型刻画误差的分布？随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示。

这条曲线就是（或近似地是）下面这个函数的图象：

我们称之为正态分布密度曲线，简称正态曲线。频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是x落在区间（a，b]的频率；再结合定积分的意义，阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值。这样，概率与积分间就建立了一个等量关系。

三、多维度举例，正态分布模型的多视角确认

问题3：现实世界中，还有哪些随机现象服从正态分布呢？像产品尺寸这一类型总体，它的特征是：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，所以它服从正态分布。再如，生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标、测量的误差（如电子管的使用寿命、零件的尺寸等）；在生物学中，同一群体的某种特征（如08年广西高考考生体检的身高、体重、肺活量）；在一定条件下生长的某农作物的产量等；在气象中，佛山今年一月份的平均气温、平均降雨量等；在生活中，某一时间段的车流量、人流量，同学的考试成绩等。总之，正态分布广泛存在于各个领域当中，在概率和统计中都占有重要地位。

四、借助GGB软件演示函数图像，探究正态分布密度曲线的性质

问题4：观察下图中的正态曲线，你能从“形”的角度，说说正态曲线的特征吗？（用GGB软件演示函数图像）

预设学生能首先观察发现以下几个特征：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值（最高点）：；（4）曲线与x轴之间的面积为1。

追问1：式中含有两个参数，参数变化时，解析式变了，图像会产生怎样的变化？探究出性质（5）当一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移。引导学生结合的意义思考，不难得出：就是标准差，标准差越小，表示总体偏离均值的程度越小，这样总体分布越集中，图像也就越“瘦高”；标准差越大，表示总体偏离均值的程度越大，这样总体分布越分散，图像就越“矮胖”。如此得到如下性质（6）：当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

追问2：分析正态曲线的函数解析式， 从“代数”的角度，你能推导出正态曲线更精妙的特征吗？正态密度函数是连续可导函数，其曲线是一条凹凸完美统一体的光滑曲线，x=μ是它极大值点，x=μ±2是它的2个拐点。

追问3： x=μ±3会是怎样的特定意义点呢？

正态总体几乎总取值于区间之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称为原则。

相关内容阅读：分发人教A版必修3在第二章《用样本的数字特征估计总体的数字特征》课后设置的阅读与思考材料《生产过程中的质量控制图》，让学生重温该内容，对运用统计原理进行产品质量控制的基本思想有进一步的理解。

五、学以致用，深化正态分布的应用

问题5：你会利用正态分布模型，应用概率进行决策吗？

追问：决策的准则是什么呢？（一般为事件的概率大小，随机变量的期望与方差）。

例题：李明上学有时坐公交车，有时骑车。他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4。假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，

1.估计X和Y的分布中的参数;

2.根据1.中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;

3.如果某天有38min可用，李明应该选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.

在教学中，利用GGB软件，画图及计算P（X≤38）和P（Y≤38）的大小，多次融合信息技术，使得数学可视化、直观化。

正态分布在实际中牵涉大量的随机现象，这不是偶然，也不是猜想，而是一种自然规律在数学上的反映。在这里，我们用量化的方法研究随机现象，经历确定研究对象—整理数据—抽象模型—应用模型等一系列过程，揭示万千变化的世界背后隐藏的统计规律性，解释随机现象与统计规律之间的联系。本节课以新课程改革的理念为指导，始终遵循着教学内容要符合学生的认知规律，在教学中采取循序渐进的教学原则，运用问题引导思维，并渗透数学抽象、数学建模、数据分析的核心素养。学生在这里可以构建一个知识体系，也可以学会一些思想方法，还可以树立一个科学观念。

参考文献：

[1]人民教育出版社.普通高中教科书数学选择性必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2020：83-90.

[2]沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2005：115.