【摘要】解析函数作为一种具有某种特性的可导函数，在我们研究复变函数时，常常将其作为研究的主要对象。研究解析函数的性质，对我们正确分析、判断复变函数有着十分重要的作用。本文研以函数f（z）在域D内解析为背景，探讨了f（z）解析函数的几个典型性质与应用时需要注意的问题。
　　【关键词】函数 解析函数 函数性质
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）38-0134-01
　　一、什么是解析函数
　　解析函数能够揭示函数非常多的重要信息，因此我们在研究复变函数时常常会应用到它。关于它的的定义，用公式表示为：函数f（z）在某一域D内可导，即f（z）称为D内的解析函数。解析函数表现了函数的解析性特征，而函数的解析性总是与某一域联系在一起。只有在某一域中，解析函数才能得以实现。从这个角度来讲，解析函数其实就是函数在某一域中某一点的解析，并且，在这该点及其领域，函数处处可导。所有的三角函数（如sin z，cos z）都为解析函数。关于解析函数的零点与奇点：若f（z）在域D内a点的对应值为0，即a点称为f（z）的零点（零点的阶段都是正整数）。若f（z）在a点与邻域处处不可导，或虽可导但不解析，则a点称为f（z）的奇点（孤立奇点是解析函数中最重要的一个奇点）。
　　二、解析函数性质分析
　　假设f（z）是某一域D的解析函数，则解析函数f（z）有以下几种性质。
　　其一，f（z）具有唯一性特征。若f1（z）、f2（z）都是域D內的解析函数，且f1（z）、f2（z）在一个收敛于D的a点（a∈D但a≠zn）的对应值相同，那么f1（z）、f2（z）在域D内恒等。若f1（z）、f2（z）在域D某一区域内恒等，那么二者也在域D内恒等。同时，f1（z）、f2（z）在z实轴上恒等，那么二者也在z平面上恒等。
　　其二，若f（z）是某一域D内的解析函数，则二解析函数f1（z）、f2（z）以及f1（z）与f2（z）之和也是域D内的解析函数，即f1（z）、f2（z）在D内某一点可导，且二者之和在该点同样可导。同样，若f′1（z）、f′2（z）在D内连续，则二者之和同样连续。这里仅仅说明了二解析函数与其和是D内的解析函数，除此之外，则二解析函数f1（z）、f2（z）的和、差、积、商都是该域D的内的解析函数。基于此性质，在实际计算解析函数时，我们可以自由地将其对应的二解析函数进行差、和、积与商运算，以便于运算，快速求解。
　　其四，f（z）在D内每一点都满足柯西-黎曼条件。若f（z）在D内可导，那么f（z）在D内解析的一个重要条件就是f（z）在D内每一点都满足柯西-黎曼条件。这也就是说，f（z）在D内具有实部与虚部之间的联系。通过这种联系，我们可以通过实部（虚部），通过柯西-黎曼方程，计算出相对应的虚部（实部）。需要说明的是，f（z）在D内的实部与虚部之间的联系是一种相互依赖关系，并不是谁决定谁的关系，二者互相影响，互相作用。很多时候，我们可以将二者形象化地表现出来，这样会更加直观地分析解析函数。例如，在计算两族曲线切线方向时，通过设定两个常数组，再由柯西-黎曼方程计算出两族曲线切线方向之间的标积，就会得出对应解析函数的实部与虚部。另外还需要说明的是，解析函数的实部与虚部必须满足二维拉普拉斯方程，即两者必须是调和函数。
　　其五，设域D有边界，边界为L，若f（z）在该域内解析，在D=D+L上连续，则f（z）在D内有任意阶导数，即f（z）在D内有无穷可导性。解析函数的这种特性，可以便于我们计算一些周线积分。需要注意的是，如果被积函数在D边界C内部有两个以上的不解析点，则不能直接应用它们。
　　结语
　　解析函数能够揭示函数非常多的重要信息，因此我们在研究复变函数时常常会应用到它。正确分析与判断解析函数的概念，并熟练掌握它的性质，能够给我们数学、力学和工程学等领域的工作带来很大的帮助。
　　参考文献：
　　[1]杨明顺，涂娅娟.解析函数定义的等价性[J].价值工程，2012（10）.
　　[2]曹海涛，张伟杰.解析函数教学探讨[J].黑龙江教育（高教研究与评估版），2013（7）.
　　[3]郭栋，黄金超.一类解析函数的性质[J].西华大学学报（自然科学版），2015（34）.